誕生日のパラドックスその1

久しぶりの更新です。

今回は、先日友人から勧められた、「誕生日のパラドックス」という問題を考察していこうかと思います。

これは、同じクラスに同じ誕生日の人がいる確率は？、という問題です。
これは、少なくとも二人は同じ誕生日である確率は？という問題としてとらえると、同じ誕生日の人が全くいない確率を、1から引くことで求められます。

ここでは、問題をもっと簡略化して考えてみましょう。
友達2人と3人でいます。誕生月が同じ人が存在する確率を考えてみます。
2人選ぶと3C2で、同じ月でない確率は11/12なので、

1 - 12/12*11/12*10/12 = (144-110)/144 = 34/144 = 17/72

これはwikipediaで紹介があった方法ですｗ
これではあまり価値がないので、別解を考えたので紹介しておきます。

別解とは、問題を場合分けによってそのまま解く方法です。
別解というレベルではないですが。
まずは、3人の中で2人が同じ月である確率です。
3人の中から2人を選ぶには、3C2ですね。その3パターンで、同じ月である、という確率を求めます。

二人が同じ誕生月である確率は、

12/12*1/12*3 = 1/4

次に、3人が同じ月なのは、12/12*1/12*1/12=1/144ですね。
和をとると、

1/4 + 1/144 = 36/144 + 1/144 = 37/144

あ、あれ？？？
正解と違いますねｗ

あ、2人の誕生月が同じ場合に、3人目も同じ可能性があり、重複した確率になってしまいました。
なので、結局「2人だけ同じ誕生月を持つ確率」を計算する必要があります。

12/12*1/12*11/12*3 = 33/144

で、同じ17/72になりました。
いやーよかったｗ

中々良い頭の体操になりました。
確率って面白いですね。