久しぶりの更新です。
今回は、先日友人から勧められた、「誕生日のパラドックス」という問題を考察していこうかと思います。
これは、同じクラスに同じ誕生日の人がいる確率は？、という問題です。
これは、少なくとも二人は同じ誕生日である確率は？という問題としてとらえると、同じ誕生日の人が全くいない確率を、1から引くことで求められます。
ここでは、問題をもっと簡略化して考えてみましょう。
友達2人と3人でいます。誕生月が同じ人が存在する確率を考えてみます。
2人選ぶと3C2で、同じ月でない確率は11/12なので、
1 - 12/12*11/12*10/12 = (144-110)/144 = 34/144 = 17/72
これはwikipediaで紹介があった方法ですｗ
これではあまり価値がないので、別解を考えたので紹介しておきます。
別解とは、問題を場合分けによってそのまま解く方法です。
別解というレベルではないですが。
まずは、3人の中で2人が同じ月である確率です。
3人の中から2人を選ぶには、3C2ですね。その3パターンで、同じ月である、という確率を求めます。
二人が同じ誕生月である確率は、
12/12*1/12*3 = 1/4
次に、3人が同じ月なのは、12/12*1/12*1/12=1/144ですね。
和をとると、
1/4 + 1/144 = 36/144 + 1/144 = 37/144
あ、あれ？？？
正解と違いますねｗ
あ、2人の誕生月が同じ場合に、3人目も同じ可能性があり、重複した確率になってしまいました。
なので、結局「2人だけ同じ誕生月を持つ確率」を計算する必要があります。
12/12*1/12*11/12*3 = 33/144
で、同じ17/72になりました。
いやーよかったｗ
中々良い頭の体操になりました。
確率って面白いですね。
2010年5月25日火曜日
2010年5月11日火曜日
食玩問題その2
作ってみました。シミュレータ。
このシミュレーションは、乱数によって何番のおまけが当たったかを判定しています。
すべての番号が出れば、すべてのおまけがあたった、ということになります。
これを1000回試行して、そのうち何回すべてのおまけが当たったかによって大体の確率を出します。
その1000回の平均を取り、確率としています。
ということで、やってみましょう。
6個まで計算しているので、10個買ったときはどうでしょうか。
10個・・・52.2%
まだ意外と低いですね。
15回・・・82.7%
おしい！
16回・・・86.1%
17回・・・88.8%
18回・・・90.9%
お！超えました！
しかしあくまでシミュレーションなので、厳密な値は超えていないかもしれないですが、18個ぐらい買えば90%の確率で全部揃うだろうということが分かったのでよしとしましょう。
せっかく作ったので、もう少しおまけの種類の多いものをやってみましょう。
100種類ある場合は？（例えば、J○ーグチップスとか？）
これはかなり買わないと駄目な気がします。。。
200個・・・0.000%
・・・。そうですか。
500個・・・51%
むむ。
600個・・・78.4%
700個・・・91.4%
800個・・・96.7%
900個・・・98.7%
1000個・・・99.5%
700個ぐらいから伸びがなくなってます。確率値のグラフはS字曲線を描いていることがわかりますね。
とりあえずこのぐらいにしときましょう。
まあ実際のおまけは、ものによってはレアなおまけもあるでしょうから、「当たる確率にばらつきがある」、ということで、これらの値はあくまでも参考程度、ということになりますね。残念。
このシミュレーションは、乱数によって何番のおまけが当たったかを判定しています。
すべての番号が出れば、すべてのおまけがあたった、ということになります。
これを1000回試行して、そのうち何回すべてのおまけが当たったかによって大体の確率を出します。
その1000回の平均を取り、確率としています。
ということで、やってみましょう。
6個まで計算しているので、10個買ったときはどうでしょうか。
10個・・・52.2%
まだ意外と低いですね。
15回・・・82.7%
おしい！
16回・・・86.1%
17回・・・88.8%
18回・・・90.9%
お！超えました！
しかしあくまでシミュレーションなので、厳密な値は超えていないかもしれないですが、18個ぐらい買えば90%の確率で全部揃うだろうということが分かったのでよしとしましょう。
せっかく作ったので、もう少しおまけの種類の多いものをやってみましょう。
100種類ある場合は？（例えば、J○ーグチップスとか？）
これはかなり買わないと駄目な気がします。。。
200個・・・0.000%
・・・。そうですか。
500個・・・51%
むむ。
600個・・・78.4%
700個・・・91.4%
800個・・・96.7%
900個・・・98.7%
1000個・・・99.5%
700個ぐらいから伸びがなくなってます。確率値のグラフはS字曲線を描いていることがわかりますね。
とりあえずこのぐらいにしときましょう。
まあ実際のおまけは、ものによってはレアなおまけもあるでしょうから、「当たる確率にばらつきがある」、ということで、これらの値はあくまでも参考程度、ということになりますね。残念。
2010年5月10日月曜日
食玩問題その1
第一回の更新です。
このブログでは、何かパズルやゲーム的な問題を自分なりに考察していく形式にしようかなと考えております。
これから頑張って書いていきます。宜しくどうぞ。
今日の問題は、「食玩問題」です。
この問題について解説されている素晴らしいサイトがあるんですが、改めて自分で考えていこう、ということで取り上げました。
何種類かおまけがついているお菓子を買った時に、すべて揃うにはどのくらい買ったらよい？
というような問題です。
例えば「○ックリマンシールを全種類集めたい！」というような要望に似ていますね。
もちろん、５種類のおまけがついているお菓子では、５個買ったら揃うこともありますよね。
では、1.それはどのくらいの確率でしょうか？また、2.80%ぐらいになるのはいくつ買った時でしょうか？
まず1.を単純に考えて見ましょう。
最初の1個を買ったときはどんなおまけでもいいですね。
そして、2個目は、4/5です。続けて考えると、5/5*4/5*3/5*2/5*1/5=0.0384
4%です。。。残念なお知らせですね。
では、6個買ったら？
n回目で既に出たものが当たると考えた場合、(n-1)/5となります。結局確率は(5/5*..*n/5*(6-n)/5*..*1/5)で、
nが1-6のパターンがありますので、5/5*4/5*3/5*2/5*1/5*(1/5+2/5+3/5+4/5+5/5)=0.1152です。
お！グッと数値が上がりました。
では、2.90%になるのはいくつでしょうか。
簡単にシミュレーションプログラムを書いて、試行させてみましょう。
・・・それは次回にしましょう。
このブログでは、何かパズルやゲーム的な問題を自分なりに考察していく形式にしようかなと考えております。
これから頑張って書いていきます。宜しくどうぞ。
今日の問題は、「食玩問題」です。
この問題について解説されている素晴らしいサイトがあるんですが、改めて自分で考えていこう、ということで取り上げました。
何種類かおまけがついているお菓子を買った時に、すべて揃うにはどのくらい買ったらよい？
というような問題です。
例えば「○ックリマンシールを全種類集めたい！」というような要望に似ていますね。
もちろん、５種類のおまけがついているお菓子では、５個買ったら揃うこともありますよね。
では、1.それはどのくらいの確率でしょうか？また、2.80%ぐらいになるのはいくつ買った時でしょうか？
まず1.を単純に考えて見ましょう。
最初の1個を買ったときはどんなおまけでもいいですね。
そして、2個目は、4/5です。続けて考えると、5/5*4/5*3/5*2/5*1/5=0.0384
4%です。。。残念なお知らせですね。
では、6個買ったら？
n回目で既に出たものが当たると考えた場合、(n-1)/5となります。結局確率は(5/5*..*n/5*(6-n)/5*..*1/5)で、
nが1-6のパターンがありますので、5/5*4/5*3/5*2/5*1/5*(1/5+2/5+3/5+4/5+5/5)=0.1152です。
お！グッと数値が上がりました。
では、2.90%になるのはいくつでしょうか。
簡単にシミュレーションプログラムを書いて、試行させてみましょう。
・・・それは次回にしましょう。
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